Je suis sûr que vous ne vous êtes jamais demander combien on pouvait débrancher sauvagement de routeur sur internet avant que les paquets n'arrivent plus à être routé ? Ou, quelle est la taille optimale de mouture (la taille à laquelle on moud le café) pour retirer le maximum d'arôme dans une cafetière à piston sans se faire exploser la cafetière (au propre comme au figuré).

Cette classe de problème est la percolation.

C'est un domaine dans lequel les solutions mathématiques exactes sont dures à calculer et pour lequel faire tourner des simulations aide. On va regarder ici une petite simulation de mon crû et aborder dans la foulée : Laué, les réseaux de Boltzman, Monté Carlo, et Galton.

Au début, venait un problème simple : cette impression que coder est déconnecté de la réalité, alors j'ai eu envie de détourner le summum de la branlette informatique en truc utile : le jeu de la vie.

J'ai un module python pour faire joujou (gof) et quelques gists dont un jeu de la vie en réseau héxagonal.

Pourquoi un réseau héxagonal et pas carré ?

L'intérêt d'un réseau hexagonal est qu'il est géométriquement plus régulier et moins déformé qu'un réseau carré utilisé pour le jeu de la vie. Selon Laué (mathématicien célèbre en cristallographie pour avoir étudier les impacts de la symétrie des réseaux sur les causalités) plus on a de groupes de symmétrie, mieux c'est.

Un réseau carré c'est L2, L4. Un réseau héxagonal c'est symmétrie d'ordre 2 (miroir), 3 (tiers de tours) et 6. Plus on a de symétries, moins on « diverge » du monde réel en introduisant du moirage.

l'Automate à état

Pour notre simulation on va introduire un automate à état simple dont le pseudo fonctionnement est :

Pour tout x de droite à gauche:
    pour tout y de haut en bas:
        Suis je vide ?
            au dessus de moi (2 choix) est-ce plein ?
                si oui prendre au hasard le contenu de la cellule en haut et le mettre dans la mienne

C'est encore plus simple que le jeu de la vie.

Une fois qu'on a fait ça, on utilise python-tk et on affiche des pseudos particules qu'on injecte en haut et on regarde comment elle tombe.

Si la pseudo-physique est bien faite, qu'on plante des clous virtuels à la sortie d'un flux de particule et qu'on les collecte « en bas » dans des « bins » (littérallement les bacs physiques de l'expérience de Galton avant d'être un terme de physique statistique quand on fait des histogrammes) ALORS je dois avoir une belle gaussienne qui se dessine.

Ceci est traité dans cette vidéo :

Résultat 1 : physique bolchévique et monté carlo

J'espère que vous me pardonnerez de planter aussi mal mes clous virtuels que réels, mais regardons LE premier résultat que j'ai en comparaison.

Le résultat est sans appel je suis : CRYPTO BOLCHÉVIQUE. Je code des abstractions dont les gaussiennes penchent à gauche ! Malheur de moi, j'ai la DGSI qui va débarquer si je ne deviens pas centriste républicain.

Avant de corriger : comprenons la géométrie du canvas : les x sont croissant de gauche à droite, les y croissants de haut en bas.

Ma simulation est normalement biaisées haut/bas, mais en scannant séquentiellement de droite à gauche, je favorise la chûte à gauche.

En simulation physique ce problème est connu dans les laboratoires, c'est la raison d'être de la méthode dite de Monté Carlo. On randomise pour casser les ordres qui n'existent pas.

Physique corrigée

Vu que python

random.randrange

est asbolument pas conforme à l'API de range, recodons là de manière saine

def randrange(x):
    c = list(range(x))
    shuffle(c)
    return c

Et remplaçons le

for i in range(x)

par

for i in randrange(i)

soit un mélange faisant disparaître l'anisotropie droite-gauche qui n'existe pas dans le monde réel et faisons retourner la simulation.

Hey, en méthodologie « Good enough », on peut s'arrêter là. Oki, la gaussienne est un peu ... trop phallique à mon goût, c'est mon coté Jul in Shape qui fait ses gainages à la boxe pour rester un adonis éternel.

PERCOLONS

Enfin, on peut s'intéresser à la mouture du café et internet.

Certains problèmes physique sont BIEN CHIANTS à calculer donc, il faut

pouvoir s'épargner les calculs
trouver les moyens de vérifier les calculs simplement

Et c'est là qu'on simule. Cette simulation imparfaite va nous permettre de commencer à PERCOLER.

Percoler pour un fluide, c'est passer à travers un réseau d'obstacle aléatoire. Comme par exemple de l'eau à travers des grains de café dans une cafetière à piston.

Si vos grains sont moutus, moulus? moudus? bref passés trop fin au moulin, ça vous explose à la yeule. Si vos grains sont trop gros, l'eau passe sans extraire le café. L'art de déterminer les bonnes tailles de grains et la bonne vitesse/pression d'eau est donc l'art de percoler. C'est pour ça qu'une machine à café s'appelle un percolateur.

Mais, ça touche aussi la conception d'internet.

Imaginez un réseau hexagonal de routeurs qui passe aléatoirement les paquets de droite à gauche, mais déterministiquement du plus court chemin du haut vers le bas, et cette simulation simulerait un inernet spécial.

Néanmoins, elle permet de bâtir une intuition à des questions comme : à combien de pourcent de nœuds détorioré le réseau peut survivre, quels sont les signes avant-coureur d'une trop forte dégradation (latence, débit, perte de paquets) ? Quelle est la topologie optimale pour fonctionner dans le mode le plus dégradé possible ?

Cette science de la percolation a incité internet à être structuré d'une manière hérétique pour les ingénieurs X/Ponts Télecom c'est à dire en étant peu étanche (très connecté) et partiellement stochastique aux frontières (lire la RFC BGP).

Internet est conçu pour avoir topoliguquement et dans ses choix d'algorithme de routage au frontière la résistance à la dégradation du réseau. On prétend qu'il a été conçu pour survivre à une attaque nucléaire globale.

Voilà à quoi ressemble un « run » de simulation :

Ce qu'il reste à faire (si j'étais pas fainéant)

Si vous êtes pas fainéant, vous faîtes des histogrammes sur des milliers de run. Le plus de simuls le plus l'incertitude diminue (vite) (test de Student).

Pour chaque valeurs de pertubations vous notez : la latence induite, les paquets perdus, la diminution totale ou partielle de flux et vous faîtes des histogrammes.

Normalement, vous allez voir apparaître une valeur de rupture abrupte où statistiquement le réseau passe de quasi 100% de proba de passant à quasi 0% passant qu'on appelle la valeur de percolation. Et pour cette valeur vous allez pondérer les métriques et voir une belle courbe en forme de sigma (une ... sigmoïde) qu'on appelle une courbe de transition. Ça ressemble à une réponse d'un transistor ? Et bien oui, un transistor est une application de la transition abrupte en percolation sauf qu'au lieu que ce soit des grains de matières macroscopiques ce sont des électrons qui sont impliqués, et la plage d'amplification est celle de la transition.

Voilà, des fois quand on fait trop d'info on en a marre de ne plus s'approcher du monde réel, alors une petite simulation physique ça détend.

Annexe : code final et screenshots

200 lignes de codes ! C'est queue de chie.

Imagination

Percolons ! Les simulations numériques à l'aide du monde réel en 200 lignes de code.